(1-47)
اندیس  در  شماره لایه بوده و  . این جواب برای نیم فضای تحتانی به فرم زیر نوشته می شود:

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

(1-48)
در اینجا سعی می شود به کمک شرایط پیوستگی کلیه ضرایب مجهول در لایه ها حذف و تنها سه ضریب مربوط به نیم فضای تحتانی باقی بماند. این ارتباط به کمک بردار  با تعریف (1-45) و ماتریس انتقال انجام می گیرد. لذا بردار  در لایه  ام بر حسب خواص لایه به صورت (1-49) نوشته می شود:
(1-49)
که در آن  یک ماتریس 6 در 6 با تعریف زیر می باشد:

امiشکل 1- 6- خواص هندسی لایه
که در رابطه (1-50) داریم:
(1-51)
و  شماره لایه است. در این صورت بردار  برای بالا و پایین لایه  ام به صورت زیر نوشته می شود (شکل 1-6):
(1-52)
(1-53)
با بدست آوردن  از رابطه (1-49) مطابق زیر:
(1-54)
و با جایگذاری آن در رابطه (1-52) بردار  مربوط به تراز فوقانی لایه  ام بر حسب این بردار در تراز تحتانی همان لایه نوشته می شود:
(1-55)
به منظور سادگی، ماتریس  در لایه  ام را به صورت زیر تعریف کرده:
(1-56)
و آن را ماتریس انتقال لایه ام می نامیم. در این صورت رابطه (1-55) به صورت ساده زیر نوشته می شود:
(1-57)
از تلفیق معادلات فوق برای کلیه لایه ها، بردار  در بالای لایه اول به بردار  مربوط به لایه  ام در انتهای نیم فضای تحتانی با رابطه زیر ارتباط داده می شود:
(1-58)
صحت رابطه بالا با بهره گرفتن از استقرا ریاضی توسط نبی زاده [28] به اثبات رسیده است. حال  و  را از رابطه (1-55) در رابطه (1-58) جایگذاری می کنیم:
(1-59)
اگر ماتریس  را مطابق زیر تعریف کنیم:
(1-60)
آنگاه از رابطه (1-59) خواهیم داشت:
(1-61)
‏ با جابجایی ستون سوم و پنجم ماتریس  ها و سطر سوم و پنجم بردار مجهولات داریم:
(1-62)
لایه  (نیم فضای تحتانی) از پایین نامحدود است و هنگامی که  به سمت بینهایت میل می کند کلیه تغییر مکان ها و تنش ها در آن با توجه به اصل تشعشع صفر هستند.
در معادلات (1-62)  ،  ،  ،  ،  و  مجهولات مساله هستند. این معادلات برای (  ،  ،  ) و (  ،  ،  ) قابلیت جداسازی را دارند که در ادامه به حل این معادلات می پردازیم.
به منظور ارتباط ثابت‏های‏ انتگرال‏گيری در لايه‏های‏ مختلف به ثابت‏ها ‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏در نيم فضای‏ تحتانی و نيز ارتباط ثابت‏های‏ انتگرال‏گيری در نيم فضای‏ تحتانی به شرايط مرزی در  ، بردار  را مطابق رابطه (1-58) بر حسب  می‏نويسيم:
(1-58-تکراری)
كه در آن  و  در معادلات (1-46) و (1-45) داده شده‌اند. با قرار دادن  و  از اين روابط در رابطه (1-57) ‏می‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏توان نوشت:
(1-63)
ها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ و  ها‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ در اين رابطه مطابق روابط (1-56) و (1-50) می‏باشند. ماتريس  مطابق رابطه (1-64) در  به صورت زير نوشته مي‌شود:
(1-64)
آنگاه از رابطه (1- 63) داریم:
(1-65)
با این شرط که دترمینان ماتریس ضرایب در رابطه (1- 65) مخالف صفر باشد:
(1-66)
از حل معادله (1- 65) داریم:
(1-67)
که در آن: