عملگرهای جمع و ضرب را می توان در خصوص ماتریس ها نیز اعمال نمود. با فرض اینکه V و W ماتریس های مربع از درجه n هستند، جمع و ضرب ماتریس ها به صورت زیر تعریف می شود:

۵
۶

پس توان n ام ماتریس V به ازای n>0 به صورت زیر تعریف خواهد شد:

اثر نهایی یک مفهوم بر دیگری مطابق تعریف زیر محاسبه می­ شود:

تعریف. اثر نهایی متغیر بر متغیر برابر با مجموع اثرات غیرمستقیم همه مسیرهای از به است. فرض کنیم v ماتریس مجاورت یک نقشه علّی باشد، ماتریس اثر نهایی( ) ماتریسی است که درای ijام آن اثر نهایی بر می‌باشد و از رابطه به دست می ­آید.

اگر طولانی­ترین مسیر در نقشه با طول k باشد می­توانیم رابطه بالا را به صورت بنویسیم اما توجیه این رابطه را بدین صورت بیان کنیم که v مسیرهای با طول یک را نشان می­دهد و عنصر اثر مستقیم بر را نمایش می­دهد. و به همین ترتیب نشانگر مسیرهای غیرمستقیم با طول دو (طی دو مسیر مستقسم) ‌می‌باشد. حال اگر به از مسیرهای مختلفی ارتباط داشته باشد تمام مسیرهای غیرمستقیم ممکن با طول های متفاوت با هم جمع شده و عنصر که همان اثر نهایی بر است را تشکیل می­ دهند.

۲-۱-۳-۶ نقشه­های شناخت فازی

نتایج روش انگاره نگاری شناختی به واسطه­ نمایش محدود روابط، برای سیستم­های پیچیده ناکارآمد بوده است زیرا عموماً رابطه علیّت در سیستم­های دنیای واقعی به صورت بولی (دو ارزشی، بلی و خیر) نمی ­باشد. روابط بسیار پیچیده­تر از آن هستند که تنها با یک علامت توصیف شوند. این موضوع انگیزه­ای برای توسعه نقشه­های شناخت شد.

ده سال پس از آکسلرد، در سال ۱۹۸۶ کاسکو^[۲۹] نقشه های شناخت فازی را معرفی کرد. اصول این روش از نظر نمایش مدل به صورت مجموعه ­ای از مفاهیم که توسط روابط به هم وصل ‌شده‌اند، شبیه به رویکرد آکسلرد ‌می‌باشد. در مقایسه با نقشه­های شناخت، برجسته ترین خصوصیت نقشه­های شناخت فازی به شیوه­ نمایش روابط علّی بین مفاهیم برمی­گردد. در این نقشه­ها به جای یک علامت صرف، به هر یال یک عدد نسبت داده می­ شود که قدرت رابطه علّی موردنظر را بیان می­ کند. نقشه های شناخت فازی روابط را با عبارت­های فازی نظیر ضعیف، متوسط، قوی یا خیلی قوی توصیف ‌می‌کنند. به عبارت دیگر وزنی که به کمان یک طرفه­ای از گره A به گره B نسبت داده می­ شود، به صورت کمی بیان می­ کند که مفهوم A تا چه اندازه سبب مفهوم B می شود. معمولا قدرت رابطه بین دو گره (مقدار وزن) در بازه [-۱ , ۱] نرمال سازی می­ شود. مقدار ۱- حداکثر تاثیر منفی و ۱ حداکثر تاثیر مثبت را نشان می­ دهند، و صفر بیانگر عدم وجود اثر علّی است. سایر مقادیر به سطوح میانی تاثیر مربوط می­شوند. در نتیجه یک نقشه شناخت فازی با مجموعه ­ای از گره­ ها و کمان­ها تشریح می­ شود که کمان­ها با وزن­هایشان نمایش داده می­شوند.

به منظور اهداف محاسباتی ‌می‌توان نقشه­های شناخت فازی را به وسیله یک ماتریس مربع نشان داد که ماتریس ارتباط خوانده می­ شود و حاوی وزن تمام یال­هایی است که مفاهیم مربوطه در سطر و ستون را با هم مرتبط می­سازند. ‌بنابرین‏ سیستمی با N گره را می توان به وسیله یک ماتریس ارتباط N*N نمایش داد.

۲-۱-۳-۴-۱ روابط جبری در مدل فازی

همان‌ طور که اشاره شد نقشه­های شناخت فازی گراف­هایی هستند که ‌می‌توان به تعریف مجموعه برای آن ها پرداخت، فرض کنید X یک مجموعه غیر تهی است و نشان دهنده مجموعه فازی توانی X است( مجموعه ای که شامل تمام زیرمجموعه­های مجموعه X است).

برای زیرمجموعه­های B و A، درجه تعلق A به B را با علامت نشان می­ دهند که درجه تعلق مجموعه A به مجموعه توانی فازی B را نشان می­دهد. درجه تعلق برای نشان دادن رابطه علّی فازی استفاده می­ شود. زیرمجموعه فازی یک فضای کمی در X را نشان می­دهد. اگر A تحت عنوان تعریف شود برای یک Q ، Q~ است(~ یعنی نقیض محلی یا مکمل جزیی). بعضی از زیرمجموعه­های فازی µ یک فضای تعدیل کننده بر روی X است و X µ باشد(X یک تعدیل­گر پیش فرض است). اگر آنگاه µ فضایی از مفهوم(عقیده) بر روی X است. یعنی اگر = آنگاه می توان µ را فضای مفهوم­ها خواند. کاسکو فضای مفهوم را علّی می­داند اگر که شرایط زیر برای هر برقرار باشد:

زمانی که مجموعه هایی از ماتریس * که با هم ارتباط علّی دارند مشخص شدند، گراف مشخص می­ شود. و این امر منجر به تعریف تابع روابط فازی می­ شود. تابع روابط فازی تابعی است که مجموعه برد آن شامل بیش از ۲ عضو باشد.

یک تابع روابط فازی بر روی مجموعه است که درجه تعلق به مجموعه توانی فازی را نشن می‌دهد. مجموعه p می‌تواند هر مجموعه ­ای باشد که به صورت نسبت تعریف شده است.به صورت کلاسیک p= تعریف می شود.

قوانین جبری روابط علّی، نحوه ارتباطات علّی و ترکیب این روابط را بروی یک نقشه شناخت فازی کنترل می‌کنند و ‌بنابرین‏ زنجیره های پسرو و پیشرو را کنترل ‌می‌کنند.

اکسلرد از اثر علّی غیرمستقیم مفاهیم بر هم در نقشه شناخت صحبت می­ کند. یک مسیر استنتاج شده از گره مفهوم به گره مفهوم را در نظر بگیرید: که اندیس متغیرهای متوالی بین دو متغیر i و j هستند. آکسلرد بیان می­ کند که تاثیر غیرمستقیم بر منفی است اگر تعداد فلش­های منفی در مسیر فرد باشد و مثبت است اگر تعداد فلش های موجود در مسیر زوج باشد. تاثیر نهایی بر روی منفی( مثبت) است اگر تمام روابط غیرمستقیم مربوط با منفی (مثبت) باشد.

اگر نشان دهنده میزان تاثیر غیرمستقیم میان دو متغیر و در مسیر rام باشد، برای محاسبه اثر نهایی بر ابتدا به تعیین کوچک­ترین مقدار در تک تک مسیرها می­ پردازیم، وزن روابط علّی میان دو متغیر متوالی pام و (p+1)ام است که میان دو متغیر i و j در مسیر rام قرار دارند( Kosko,1986).

سپس طبق معادله زیر برزگترین مقدار را از میان m مسیر ممکن، به عنوان اثر نهایی بر در نظر می گیریم.

به طور مثال اگر بخواهیم تاثیر غیرمستقیم بر را در شکل زیر با توجه به مقادیر احتمالی داده شده (بسیارزیاد> بسیار >کمی >وجود ندارد) محاسبه نماییم.

سه مسیر از گره۱ به گره ۵ وجود دارد. لذا از به سه اثر غیرمستقیم خواهیم داشت.

پس اثر نهایی بر برابر خواهد بود با

۲-۱-۳-۴-۲ استراتژی های ایجاد و توسعه یک نقشه شناخت

دو دسته تکنیک عمده برای ایجاد و توسعه نقشه­های شناخت فازی وجود دارد. دسته اول روش­های متکی به خبرگان نامیده می­شوند که شامل تکنیک­هایی می­ شود که تنها دانش انسان را استخراج می­ کند. به دلیل فقدان رویکردهای خودکار یا نیمه خودکار که فرایند انگاره نگاری شناختی را پشتیبانی کنند تا مدت­ها این روش به طور خاص تنها روش ایجاد نقشه­های شناختی فازی بود. اخیراً تلاش هایی برای طراحی روش­های محاسباتی صورت گرفته است. این روش­ها بر آن هستند تا جانشین خبره شوند یا به وی کمک کنند و ساختار مدل را به شیوه­ای خودکار یا نیمه خودکار فراگیرند( استچ و دیگران ^[۳۰]۲۰۰۵؛ ۲۰۱۰^[۳۱]).