(‏۱‑۱۰)
در نتیجه :
(‏۱‑۱۱)
رابطه­ (‏۱‑۶) و رابطه فوق نشان می‌دهد که نماهای رشد از هم مستقل نبوده و بصورت زیر به هم وابسته هستند.
(‏۱‑۱۲)

۱-۱-۲ طول همبستگی

سؤالی که در اینجا مطرح می­ شود این است که چرا سطح به اشباع می­رسد؟ طبق رابطه و اگر طول سیستم به سمت بی­نهایت میل کند، ()، هر دو این مقادیر نیز به بی­نهایت میل می­ کنند و سیستم هرگز به اشباع نمی­رسد. اما می­دانیم که برای همه سیستم­های واقعی (فیزیکی) طول سیستم، L، مقدار محدودی است. بنابراین پهنای فصل مشترک در یک زمان متناهی به اشباع خواهد رسید. یعنی اینکه پدیده­ اشباع مربوط به اثر طول محدود^[۲۷] سیستم است.

( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

اما چه مکانیسمی باعث اشباع سیستم می­ شود و سیستم چگونه می­داند که چه وقت به اشباع برسد؟ پاسخ این سوال بواسطه­ی وجود یک ویژگی مهم در اغلب سطوح، یعنی وجود همبستگی^[۲۸] در سیستم است.
یکی از خواص اکثر فرآیندهای رشد، وجود همبستگی­های گسترش یافته در طول سیستم است. همبستگی ایجاب می­ کند که مکان­های متفاوت سطح کاملاً مستقل از هم نبوده و به عبارت دیگر، ارتفاع هر مکان بصورت مستقل رشد نکرده و وابسته به ارتفاع­های مکان­های همسایه می­باشد، بنابراین افت و خیزهای^[۲۹] ارتفاع بصورت افقی گسترش یافته و با وجود اینکه فرایند رشد، موضعی است اما بخاطر رشد جانبی^[۳۰]، اطلاعات در مورد هر یک از همسایه­ها بطور سرتاسری گسترش می­یابد. بیشترین فاصله­ی مشخصه­ای که ارتفاع­ها به یکدیگر همبسته­اند طول همبستگی ( ) نامیده می­ شود. طول همبستگی طولی است که درآن رفتارهای میکروسکوپیک با هم همبسته­اند و یا اجزای سیستم درآن فاصله می­توانند روی هم اثر بگذارند.
در ابتدای فرایند رشد مکان­ها غیر همبسته­اند^[۳۱] ودر طول انباشت، با زمان رشد می کند. برای یک سیستم با طول خطی محدود، نمی­تواند بطور نامحدودی رشد کند چرا که توسط طول خطی سیستم یعنی L کنترل می شود. وقتی با طول خطی سیستم مساوی شد، کل سطح همبسته شده و در نتیجه پهنای فصل مشترک به اشباع می رسد. در زمان اشباع، ، خواهیم داشت:
(‏۱‑۱۳)
و چون زمان با طول سیستم بصورت مرتبط است داریم:
(‏۱‑۱۴)
و برای زمان­های قبل از اشباع خواهیم داشت:
(‏۱‑۱۵)
طول همبستگی در راستای رشد (طول همبستگی عمودی^[۳۲]) را نیز با ، ، نمایش می­ دهند. این کمیت نوسانات در جهت رشد را مشخص می­ کند و رفتار حاکم بر روابط مقیاسی آن کاملاً مشابه با رفتار پهنای فصل مشترک است.

۱-۲ مدل های رشد سطح

برای مطالعه فرآیندهای رشد سطح، مدل­های مختلفی بسته به شرایط اعمالی بر سیستم در موقعیت­های مختلف، ارائه می­ شود. با توجه به این مدل­ها مشخصاتی که از این سطوح بدست می­آیند متفاوت خواهد بود. در ادامه بطور مختصر به معرفی مهمترین این مدل ها می پردازیم. جزئیات بیشتر در مورد این مدل ها در [۱و۲] آمده است.

۱-۲-۱ مدل های گسسته

۱-۲-۱-۱ مدل انباشت تصادفی

این مدل ساده ترین مدل رشد سطح است. در این مدل ذره از یک مکان تصادفی انتخاب شده بالای سطح، بصورت عمودی سقوط می­ کند و بر روی ستون زیرین خود می­نشیند. بنابراین الگوریتم شبیه­سازی بسیار ساده و بصورت زیر است:
مکان i ام بصورت تصادفی انتخاب می­ شود و ارتفاع آن ،، یک واحد افزایش می­یابد. شکل ۱-۴ طرح کلی این مدل را نشان می دهد .
شکل ‏۱‑۴: مکانیزم نشست در مدل انباشت تصادفی. ذره­ی A درA’ و ذره­ی B در B’ می­نشیند.
مهمترین ویژگی مدل طبیعت غیرهمبسته­ی آن است. از آنجایی که هر ستون بطور مستقل رشد می­ کند، هیچ مکانیزمی وجود ندارد که همبستگی را در طول سیستم ایجاد کند لذا طول همبستگی همیشه برابر صفر است، پهنای فصل مشترک بطور نامحدود با زمان افزایش می­یابد و سیستم هیچگاه به اشباع نخواهد رسید. نمای زبری برای این مدل تعریف نشده و یا اصطلاحاً در نظر گرفته می­­شود. شکل ۱-۵ تحولات دینامیکی سطحی را نشان می­دهد که توسط این مدل تولید شده است. حضور سایه ها سطح را در بازه های زمانی مختلف نشان می دهد.
مدل بعلت طبیعت غیر همبسته­ی خود بطور دقیق قابل حل است. بطوریکه می­توان تمام کمیت­های مربوطه را براحتی بصورت زیر، برای این مدل بدست آورد.
از آنجایی که هیچ همبستگی بین ارتفاع­ ستون­ها وجود ندارد، هر ستون بطور مستقل با احتمال رشد می­ کند، که بیانگر اندازه­ سیستم است. احتمال اینکه ارتفاع یک ستون بعد از نشست ذره برابر با باشد برابر است با :
(‏۱‑۱۶)
زمان را میانگین لایه­ های نشسته شده تعریف می­کنیم:
(‏۱‑۱۷)
در نتیجه میانگین ارتفاع بطور خطی با زمان رشد می­ کند:
(‏۱‑۱۸)
همچنین به راحتی قابل محاسبه است:
(‏۱‑۱۹)
بنابراین پهنای فصل مشترک برابر است با:
(۱-۲۰)
و چون است داریم:
(‏۱‑۲۰)
یعنی نمای رشد برای این مدل برابر است با:
(‏۱‑۲۱)
شکل ‏۱‑۵: نمونه ای از سطح تولید شده توسط مدل. سایه ها سطح را در زمان­های متوالی با بازه­های زمانی یکسان نشان می دهند.

۱-۲-۱-۲ مدل انباشت تصادفی با واهلش سطحی

در این مدل نیز مانند مدل ذره از یک موقعیت تصادفی بالای سطح بطور قائم رها شده و روی سطح می­نشیند، برای وارد کردن فرایند واهلش^[۳۳]، به ذره­ی نشسته شده اجازه داده می­ شود تا در یک فاصله­ی محدود در طول سطح از بالا به پایین جابجا شود تا مکانی را با کمترین ارتفاع پیدا کرده و در آنجا قرار گیرد. در شکل ‏۱‑۶ طرحی از این مدل ارائه شده است.
شکل ‏۱‑۶: مدل نشست تصادفی با واهلش سطحی. ذره پس از نشست به مکانی با کمترین ارتفاع سقوط می­ کند.
در روش ، ذره پس از نشست به کمترین ارتفاع در همسایه­­های مجاور سقوط می­ کند، بنابراین در طی این فرایند همبستگی بین ارتفاع­های همسایه ایجاد خواهد شد. این همبستگی منجر به همبسته شدن کل سطح شده و نهایتاً منجر به اشباع سطح مشترک خواهد شد.
بعنوان یک نتیجه از فرایند واهلش در این مدل، سطح مشترک ایجاد شده در مقایسه با مدل بدون واهلش هموارتر خواهد بود. شکل ۱-۷ نمونه ­ای از سطح رشد یافته توسط این مدل را نشان می­دهد. این مدل بدلیل پیچیدگی­های ناشی از وجود همبستگی حل دقیق ندارد. نتایج شبیه سازی رشد یک سطح یک بعدی با روش نشان می­دهد که نماهای مقیاسی این روش عبارتند از:
(‏۱‑۲۲)
شکل ‏۱‑۷ : سطح تولید شده توسط شبیه سازی مدل در زمان های متوالی و در بازه های زمانی یکسان.

۱-۲-۱-۳ مدل انباشت پرتابی

در این مدل ذره از یک موقعیت تصادفی بالای سطح و دور از ارتفاع بیشینه رها می­ شود و پس از طی یک مسیر قائم به طرف سطح، در اولین تماس با سطح به آن خواهد چسبید. در شکل ۱-۸ طرحی از این مدل آورده شده است.